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感知器
1.问题
人工神经网络（ANN)是机器学习的一重要分支，在没介绍神经网络之前，有必要先介绍感知器，感知器是人工神经网络的前身。
有这么一个问题，我们知道某人的体重及身高可否估计出人体脂肪的含量比例（就是肥瘦问题了）？
而实际的
在这之前，我们随机在街上找了几百人做测量，测量下面的数据：
1。年龄（岁）
2。体重（公斤）3。身高（厘米）4。颈围（厘米）5。胸围（厘米）6。腹部（厘米）7。臀围（厘米）8。大腿围（厘米）9。膝围（厘米）10。踝周长（厘米）11。肱二头肌（扩展）腰围（cm）12。前臂围（厘米）13。腕围（厘米）最后是测量这个人的脂肪比例（百分比）
看看是上面的13个因素和身体的脂肪比例有没关系？
为了方便理解，这里只选取测量的体重（X1)及身高(X2）中30组数据为说明对象，数据如下：
| 编号 | x1 体重（kg） | x2 身高（cm） | y 脂肪含量（%） |
| 1 | 70 | 172 | 12 |
| 2 | 79 | 184 | 6 |
| 3 | 70 | 168 | 25 |
| 4 | 84 | 184 | 10 |
| 5 | 84 | 181 | 29 |
| 6 | 95 | 190 | 21 |
| 7 | 82 | 177 | 19 |
| 8 | 80 | 184 | 12 |
| 9 | 87 | 188 | 4 |
| 10 | 90 | 187 | 12 |
| 11 | 84 | 189 | 7 |
| 12 | 98 | 193 | 8 |
| 13 | 82 | 177 | 21 |
| 14 | 93 | 181 | 21 |
| 15 | 85 | 177 | 22 |
| 16 | 74 | 168 | 21 |
| 17 | 89 | 180 | 29 |
| 18 | 95 | 180 | 23 |
| 19 | 83 | 172 | 16 |
| 20 | 96 | 187 | 17 |
| 21 | 81 | 173 | 19 |
| 22 | 91 | 177 | 15 |
| 23 | 64 | 173 | 16 |
| 24 | 67 | 178 | 18 |
| 25 | 69 | 172 | 14 |
| 26 | 72 | 182 | 4 |
| 27 | 60 | 171 | 8 |
| 28 | 67 | 171 | 23 |
| 29 | 60 | 164 | 4 |
| 30 | 73 | 175 | 9 |
-----
2.思路
思路是这样的，能否找到w1,w2,w0，使得y~=w1*x1+w2*x2+w0*x0(其中定义xo=1）,这样只要求出w1,w2,wo就可以解决一开始的问题。
于是，我们把上面的模型简化为：
然后让h尽可能接近y的。
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3.模型
于是每一组数据（一行为一组数据）输入到模型中有了（例子中共30组数据）：
上面的其中一组数据可以简化写成：
定义一个函数J，通过函数J来衡量w1,w2,w0是否合适:
J=1/2*(([h(1)-y(1)])2+([h(2)-y(2)])2+...([h(30)-y(30)]) 2)
简写成：
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4.求导
下面的工作就是如何求w1,w2,w0了，
由于上面的式子中未知的只有w1,w2,w0(每一组的x1,x2,y都是知道的)，
那么函数J实际上就是关于变量(w1,w2,w0)的函数。
为了方便理解，我们暂时把w0=0，这样
J=f（w1,w2)了
对应一个二元方程来说，可以通过一个立体图来直观的描述：
现在就是如何求出最低的位置。
这里用到的是一种称为梯度下降的方法，
首先，随意给定一个点A,然后求出其所在位置的最陡峭的方向（用偏导的方式），再给定一定长度，往下走一点，
停下来再求最陡峭的方向，然后往下走一点，循环直到到达最低的位置。
如下图，
上面的是一个比较好理解的情形，实际上这个J（w1,w2,w0)是一个难以用图表示的，但道理是一样的。
下面给出w1求偏导的具体过程，真的的很详细。。。（可怜的电脑编辑公式实在慢）。
同理求出w2，及w0的偏导（注意x0=1);
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5.梯度下降求答案
求出偏导后，可以设定一个固定的步长α，向低洼的地方出发了。
下面的公式中的“：=”为编程中的更新公式
代入上面的求导结果后
为了形象的说明为什么减去“α*偏导”，下图形象的说明，其中w’为更新后的w值
---
6.代码实现
%数据
bodyData =
1 70 172 12
1 79 184 6 1 70 168 25 1 84 184 10 1 84 181 29 1 95 190 21 1 82 177 19 1 80 184 12 1 87 188 4 1 90 187 12 1 84 189 7 1 98 193 8 1 82 177 21 1 93 181 21 1 85 177 22 1 74 168 21 1 89 180 29 1 95 180 23 1 83 172 16 1 96 187 17 1 81 173 19 1 91 177 15 1 64 173 16 1 67 178 18 1 69 172 14 1 72 182 4 1 60 171 8 1 67 171 23 1 60 164 4 1 73 175 9%% matlab 代码
%加载数据x=bodyData(:,1:3);%注意x(:,1)=1;y=bodyData(:,4);%初始化step=0.000001;%设定步长，就是stepn=1;%步骤数w=[-0.5;0.5;-0.5];%初始化w值，注意w(1)对应的是上面的x0；while stepn<500; h=x*w; %计算出h e=(h-y); %计算出差值e e1=e.*x(:,1); e2=e.*x(:,2); e3=e.*x(:,3); w(1)=w(1)-step*sum(e1);%计算出w1，就是上面讲的w0； w(2)=w(2)-step*sum(e2);%计算出w1，就是上面讲的w1； w(3)=w(3)-step*sum(e3);%计算出w1，就是上面讲的w2； J(stepn)=1/2*sum(power(e,2)); %计算出代价函数J； if stepn>1 J_gradient=J(stepn-1)-J(stepn); %计算梯度值 end %绘制图形 plot(stepn,J(stepn),'o'); hold on; title(['步数=',num2str(stepn),' 梯度=',num2str(J_gradient)]); pause(0.1); %暂停0.5秒 stepn=stepn+1;end
运行结果：
最后的w值：
w =
-0.4979
0.6018 -0.1820
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7 后话
1.关于数据扩充
对于上面的例子，可以很容易把上面的3个x变为m个x，数据从30个变为m个。
2.关于BGD与SGD，还有Mini-BGD。
还记得上面的
留意一下，这个是需要对整个数据集都要求和计算的。
而对整体求出梯度的下降方式是叫批量梯度下降（Batch Gradient Descent，简称BGD）；
如果数据的维度少（所谓维度就是x1，x2，x3，...，xn，如果上面的例子就是体重，身高，腰围等）的数据没问题。
但对于大数据，如图形那样过万的维度数据，效率就很低了。
所以就有了随机梯度下降，Stochastic Gradient Descent（简称SGD）,
及常用的小批量梯度下降 Mini Batch Gradient Descent。
这里不展开，有兴趣可以Search一下区别。
3.关于编程
对应上面的数据，或者类似这样的数据，要做线性回归，
可以自己不写代码，而matlab有一个简单的方式可以实现：
% 把上面的数据用regress 函数就可以解决w = regress(y,x)
ans：
w =
116.0441
0.5502 -0.8103
参考：
NG大牛的
好了，就写到这里。
（end）